Nanomilonoj kaj megamiliardoj

Hodiaŭ mi parolos pri nombroj, kiel ili estas uzataj nun. En grandaj linioj, mi progresos al ĉiam pli grandaj nombroj.

• Mi komencos per kelkaj detaloj pri la nuna dekuma sistemo: decimala komo aŭ punkto, kaj scienca notado kun eksponento de dek.
• Poste mi parolos pri nomoj de grandaj nombroj: milionoj kaj miliardoj, kaj ankaŭ iomete pri malgrandaj nombroj: nano kaj piko apud mega kaj tera.
• En tria parto mi parolos pri kie oni povas renkonti grandajn nombrojn. Mi eĉ eksplikos kio estas plena grafeo sur la verticoj de hiperkubo, nur ĉar tio rilatas al iama mondrekorde granda nombro.
• Kaj laste mi parolos pri transfiniaj nombroj. Vi rajtas nomi ilin senfinoj, sed nepre uzu pluralon.

Iom pri la dekuma sistemo

Inter la cifero de la entjeroj kaj la cifero de la dekonoj oni metas simbolon: en plej multaj eŭropaj landoj tiu simbolo estas komo. En anglalingvaj landoj, en Ĉinio kaj Japanio la decimala simbolo estas punkto. La internacia normo (ISO-normo) akceptas ambaŭ simbolojn, sed en ĉiuj tekstoj eldonitaj de ISO (en la ofialaj lingvoj franca kaj angla) la decimala simbolo estas komo. ISO ja diras pri la decimala punkto ke ĝi estu metata malalte, kiel la fina punkto de frazo. En matematiko ankaŭ ekzistas mezalta punkto, kiu simbolas multiplikon.

Ankaŭ konata, sed eble ne de ĉiuj, estas la scienca notado de nombroj: nombroj kiel 3,5∙10⁵ anstataŭ 350000. Pli mallonga skribmaniero (uzata en kalkuliloj) estas 3,5e5. La eksponento ankaŭ povas esti negativa: 3,5e-5 signifas 0,000035. Per tiu skribmaniero oni facile povas skribi sufiĉe grandajn kaj sufiĉe malgrandajn nombrojn.

Nomi grandajn kaj malgrandajn nombrojn

Unue do pri nomoj de nombroj. Ekzistas du sistemoj por nomi grandajn nombrojn: tiu per milionoj kaj miliardoj, kaj la sistemo origine uzita nur por mezuroj: nanometroj, pikosekundoj, megavatoj, sed nun ankaŭ megabajtoj kaj mebibajtoj.

Milionoj (longa kaj mallonga skaloj)

Por komenci, mi parolos pri miliono kaj similaj vortoj.

Jam en la 14-a jarcento la vorto "milione" aperis en italaj tekstoj. Oni povas ekspliki ĝin kiel "milego" (itale mil estas "mile", kaj -one indikas pligrandigon), sed ĝia preciza signifo estis tiam kiel nun milfoje mil. En la 15-a kaj 16-a jarcentoj ĝi disvastiĝis en aliaj eŭropaj landoj.

En la 15-a oni ekuzis en Francio la vortojn "bymillion" kaj "trimillion" por la dua kaj tria potencoj de miliono. En 1484, la franca matematikisto Nicolas Chuquet verkis artikolon en kiu li eksplikis sistemon de potencoj de miliono, kiujn li nomis byllion, tryllion, quadrillion, k.t.p., ĝis nonyllion (naŭa potenco).

En 1549, alia franca matematikisto Jacques Pelletier du Mans enkondukis la vortojn milliard por mil milionoj, billiard por mil bilionoj,...

Tiuj vortoj iom ŝanĝiĝis tra la historio, sed ili restas rekoneblaj. La sistemo de Chuquet nun estas plivastigita preter la deka ĝis la 999-a potenco de miliono: novenonagintanongentiliono.

Sed estas problemo. Ĝis nun mi eksplikis la sistemon de Chuquet, nomata la longa skalo, ĉar la -ilionoj progresas per (longaj) paŝoj de multipliko per miliono. Sed en la 17-a jarcento, francaj kleruloj komencis uzi mallongan skalon, kiu progresis per paŝoj de mil. Kaj pli grave: ili uzis la samajn vortojn, sed donis al ili novan signifon. La vorto miliono restis mil foje mil. Sed biliono iĝis mil milionoj (anstataŭ miliono da milionoj), triliono estis mil bilionoj, do fakte biliono de la longa skalo, k.t.p.

Kiam la britaj kolonioj de norda Ameriko liberigis sin de la brita reĝlando, ili estis helpataj de la reĝo de Francio. Post la franca revolucio (mem inspirita de novaj ideoj el la usona respubliko), la kontaktoj inter ambaŭ landoj daŭris. Unu el la sekvoj de tio, estas ke Usono transprenis la francan (mallongan) skalon de milionoj kaj bilionoj anstataŭ la brita (longa) skalo. Poste ankaŭ Brazilo transprenis la mallongan skalon, dum Portugalio uzis la longan.

En la dudeka jarcento tio ŝanĝiĝis. Francio aliĝis al la eŭropa (longa) skalo: en 1961 ĝi estis oficialigita per leĝo (fakte, dekreto de la registaro), sed en 1974 Britio transiris al la mallonga skalo: ekde tiam oficialaj statistikoj de la registaro uzos la usonajn terminojn. Britaj sciencistoj kaj matematikistoj longtempe, kaj parte ankoraŭ nun, uzas la longan skalon, sed bankistoj kaj ĵurnalistoj, kun la registaro, persiste uzas la mallongan.

Ni povas diri ke en anglalingvaj landoj la mallonga skalo nun dominas. Ankaŭ Brazilo uzas ĝin, dum Turkio kaj Rusio dubas. Grekio havas propran sistemon, dekmiluman anstataŭ miluman, sed aliaj eŭropaj landoj uzas la longan skalon. Sed pro la usona influo, oni ofte dubas ĉu la nombroj estos bone komprenataj. Estas tial, ke anstataŭ "biliono" oni ofte diras "mil miliardoj", kaj "triliono" estas "miliardo da miliardoj". Ĉar miliardo ne ekzistas en la mallonga skalo, tiuj esprimoj estas nemiskompreneblaj.

Kaj Esperanto?

Esperantaj vortaroj kaj gramatikoj eksplikas la vortojn biliono, triliono, kvadriliono k.t.p. laŭ la longa skalo, sed iuj tamen malrekomendas ilin, ĉar praktike, ilia signifo dependas de la lando de la parolanto. Ja ekzistas esperanta sistemo, menciata i.a. en PIV, kiu sekvas la longan skalon (potencoj de miliono), sed uzas specife esperantajn vorterojn: anstataŭ la latina serio de vortoj biliono, triliono, kvadriliono, oni diras duiliono, triiliono, kvariliono, ĝis dekiliono. Mil duilionoj estas duiliardo, k.t.p.

Sed la sistemo ne estas uzebla super dekiliono. Teorie oni ankoraŭ povus diri "dekunuiliono", sed ekde dekduiliono tio ne plu eblas, ĉar tri dekduilionoj dividitaj per tridek duilionoj, estas cent naŭiliardoj. Ĉe tiom malgranda diferenco laŭ prononco, la valoroj tro malsamas por praktika uzo.

Nu, ankaŭ en aliaj lingvoj, nombroj super kvariliono estas tre malofte nomataj: se oni uzas ilin, oni skribas kaj prononcas ilin laŭ la scienca notado: trifoje dek potenco tricent. (Trovu la nomon de tiu nombro laŭ la (ĉi-supra) distribuita tabelo: ĝi estas "tri kvinkvagintilionoj".)

SI- kaj IEC-prefiksoj

Alia sistemo por nomi nombrojn venas el la sistemo de mezuroj.

Post la franca revolucio, oni enkondukis la dekuman sistemon de pezoj kaj mezuroj. Krom kelkajn novajn unuojn (metro por distanco, litro por kvanto da fluidaĵo, gramo por pezo), tiu sistemo ankaŭ difinis prefiksojn por nomi pli grandajn kaj pli malgrandajn unuojn, kaj mallongigojn por tiuj prefiksoj: pli malgrandaj ol metro estis la decimetro, centimetro kaj milimetro (el la latinaj por dek, cent kaj mil). Pli grandaj estis dekametro, hektometro, kilometro kaj miriametro (el la grekaj por dek, cent, mil kaj dek mil).

Poste, tiu sistemo estis ĝeneraligita al SI, la internacia sistemo de mezuroj. Tiu sistemo konas sep bazajn unuojn (metro, kilogramo anstataŭ gramo, sekundo, ampero, kelvino, molo kaj kandelo), kaj multajn derivitajn unuojn (neŭtono, herco, paskalo, ĵulo,...). Ankaŭ rilate al prefiksoj, io ŝanĝiĝis. Fakte, oni forlasis la dekuman sistemon kaj transiris al miluma sistemo: deci, centi, deka kaj hekto restas akceptataj en iliaj ĝisnunaj uzoj, sed ne por diri decisekundo aŭ dekaneŭtono, kaj novaj prefiksoj estis enkundukitaj por pli grandaj kaj pli malgrandaj unuoj. La prefikso miria internacie ne plu estas akceptata, nur la miriametro restis uzata en kelkaj leĝoj en Belgio.

La milumaj prefiksoj ĝis nun estas donataj en la tabelo.

Derivitaj duumaj prefiksoj

Komputilaj adresoj ĉiam estas duumaj nombroj, kaj tial la grando de komputila memoro preskaŭ ĉiam estas duume ronda nombro, t.e. potenco de du foje tre malgranda nombro.

Kiam komputilaj memoroj ampleksis kelkajn milojn da bajtoj, oni ofte indikis ilian grandon ekz. per "16 K vortoj" (vorto estis la plej malgranda adresebla unuo de memoro: depende de la maŝino tio povis esti 16, 32, 36 aŭ alia nombro da bitoj). Per "K" oni komprenis "kilo", sed oni neniam diris tion, ĉar kilo signifas 1000, kaj K estas iomete pli: 2¹⁰ estas 1024 (la diferenco estas 2,4%). Ankaŭ, oni ĉiam skribis majusklan K, dum la mallongigo de kilo estas minuskla k.

Sed memoroj pligrandiĝis, kaj K foje K ne estis nomata "M", sed "mega", kaj oni mallongigis ĝin per majuskla M, la sama mallongigo kiun uzas SI por miliono. Tamen, ĝia valoro estis 1048576 (diferenco jam 4,9%). Kaj ankaŭ gigabajtoj kaj terabajtoj nun ekzistas, kaj la diferenco kun la SI-valoroj iĝis ĉiam pli granda.

Cetere, por diskoj oni plej ofte uzas dekumajn valorojn anstataŭ duumajn. Por plu komplikigi la aferon: la diskedo de 9 cm, ofte nomata "3 kaj duona colo", en sia unua versio entenis 720 KB, sed kiam oni duobligis tion, la nova kapacito estis indikita kiel "1,44 MB", kvankam dufoje 720 K estas 1440 K, do tiu 1,44 M ne signifas 1,44 KK (1,44∙2²⁰), nek 1,44 kilokilo (1,44∙10⁶), sed 1,44 kiloK (1,44∙10³∙2¹⁰).

Por eviti tiajn miskomprenojn, la IEC (International Electrotechnical Commission) en 1998 enkondukis novajn nomojn por la duumaj prefiksoj. Ĝis nun, ili estas malmulte uzataj, sed estas ĉiam tiel: nova normo bezonas kelkajn dekojn da jaroj, unue por esti instruata en lernejoj, poste por konkeri la laborejojn. Iom post iom, vi renkontos tiujn novajn nomojn.

La novaj prefiksoj estas derivitaj de la SI-prefiksoj, sed finiĝas per "bi" (de la angla "binary" = "duuma", kaj al la mallongigo oni aldonas minusklan literon "i" (minuskla "b" jam signifis "bito", kaj majuskla "B" estas "bajto" (bitoko), tial oni uzas la duan literon de "bi").

Guglo kaj ĝia serio

Estas alia serio da nombroj, kies nomoj, almenaŭ en la angla, estas sufiĉe konataj.

Vi ĉiuj konas la serĉretejon google. La nomo de tiu retejo, almenaŭ laŭ la oficiala legendo, estas skriberaro. Fakte, la nomo de la retejo devis sugesti ke la nombro de troveblaj informoj estas googol (prononco gugl), sed la registrita nomo estis google (sama prononco).

Googol, en Esperanto oni diras guglo, valoras dek potenco cent, aŭ dek sedeciliardoj. La vorto googol estis enkondukita en libro pri "Matematiko kaj la imagpovo", de la usona matematikisto Edward Kasner. Li ne mem inventis la vorton: li demandis al sia naŭjara nevo kiel li nomus tre tre grandan nombron, kaj tiu diris "guuugol!".

Ĝi iĝis la unua nombro de serio: googol estas dek potenco cent, googolplex estas dek potenco googol, googolduplex estas dek potenco googolplex, kaj oni povus daŭrigi. Sed matematike tiuj nombroj estas malofte uzataj: ili plej ofte estas uzataj kiel alternativaj vortoj por "veremultiliono".

Ekzemploj de grandaj nombroj

Mezuroj

Por doni ideon pri mezureblaj grandoj, mi serĉis la plej grandajn kaj plej malgrandajn konatajn distancojn.

La plej fora lumo kiu povas atingi nin, estis elsendita antaŭ 13,7 miliardoj da jaroj. Ni povas konsideri tion kiel la radiuso de la konata universo: 13,7 miliardoj da lumjaroj. Lumjaro estas proksimume 9,46 Pm (9,46 duiliardoj da metroj, aŭ 9,46∙10¹⁵ m), do la radiuso de la konata universo estas 130 Ym, ĝia diametro 260 Ym (260 kvarilionoj da metroj, aŭ 2,6∙10²⁶ m).

La plej malgranda atomo estas heliumo. Ĝia diametro estas 60 pm. Atomkernoj tipe mezuriĝas 10 fm. Ĝis nun, la plej mallonga mezurebla distanco estas la diametro de protonoj kaj neŭtronoj, iom malpli ol 1 fm. Sed krom teĥnikaj malfaciloj ŝajnas ekzisti ankaŭ teoria limo al mezureblaj distancoj. Laŭ la kordoteorio, la spaco kaj tempo ne estus senfine divideblaj. La plej mallonga vere ekzistanta (kaj ne nula) distanco estus la distanco de Planck, kiu estas 1,6162412∙10^-35 m (≈ 1,6∙10^-11 ym).

Se ni kredu la kordoteorion, la diametro de la konata universo estus do 2,6∙10²⁶ / 1,6162412∙10^-35 = 1,61∙10⁶¹-foje la plej mallonga distanco.

Kompreneble, volumeno estas tria potenco de distanco. Por volumenoj oni povas bezoni nombrojn kun trifoje pli granda eksponento (10¹⁸³). Eble aliaj mezureblaj grandoj estas ankoraŭ pli grandaj, sed tre verŝajne oni neniam bezonos eksponenton de pli ol tri ciferoj.

Ebloj

Pli grandajn nombrojn vi trovos, se temas pri ebloj.

Laŭ kiom da vicordoj vi povas meti 52 ludkartojn? Por la unua karto, vi povas elekti el 52 ebloj, por la dua el 51, ktp. Entute estas do 52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ ... ebloj. Oni skribas tion kiel 52! (ekkria signo), kaj prononcas "faktorialo de 52". La valoro estas 8,6∙10⁶⁷. Per simpla demando pri ludkartoj ni jam atingis la diametron de la universo!

En kazinoj oni ofte intermiksas kvin paketojn de 52 kartoj. La nombro da eblaj vicordoj tiam estas (5 ∙ 52)! / (5!)⁵². Tio valoras 2,9∙10⁴⁰⁸. Ĉio eblas, sed plej multaj el la ebloj neniam realiĝos.

Skribi vere grandajn nombrojn

Potenca turo

Grandajn nombrojn oni povas skribi per potenca turo: 10¹⁰¹⁰¹⁰. Pro konvencio, ne necesas skribi krampojn: 10¹⁰¹⁰¹⁰ signifas 10^{(10(1010 ) )}: ĉiam kalkulu de dekstre maldekstren. 10¹⁰¹⁰¹⁰ estas unu, sekvata de nuloj kies nombro estas unu, sekvata de nuloj kies nombro estas unu, sekvata de dek nuloj.

Sagonotacio de Knuth

Potencaj turoj havas malavantaĝon: ili okupas grandan spacon, ĉar ili plialtigas la tutan linion en kiu ili troviĝas.

Donald Knuth proponis en 1976 alian skribmanieron de potencoj: la sago supren. 10↑10↑10↑10 signifas la samon kiel 10¹⁰¹⁰¹⁰, sed ĝi estas skribebla en unu nivelo.

Sed la dua propono de Knuth estas pli grava. Sagon oni povas duobligi kaj, pli ĝenerale, multobligi. Duobla sago signifas, ekzemple en 10↑↑5: skribu kvinfoje la nombron dek, kaj metu inter ili unuopajn sagojn: 10↑10↑10↑10↑10. Triobla sago estas la sama, sed nun vi intermetu duoblajn sagojn. Kaj daŭre validas la konvencio: kalkulu de dekstre maldekstren.

Kaj ne necesas halti ĉe tri sagoj: grandan nombron da sagoj oni povas skribi per eksponenta notacio: anstataŭ ↑↑↑, skribu ↑³, kaj egale facile vi povos skribi ↑³³³.

Kiel ekzemplo mi donos kelkajn valorojn por dufoje la nombro tri.

Ĉenoj de Conway

John Conway proponis sistemon kiu ebligas la skribadon de ankoraŭ pli grandaj nombroj. Li uzis ĉenojn de pozitivaj entjeroj, separitaj per horizontalaj (dekstraj) sagoj.

Jen la reguloj (p kaj q estas entjeroj pli grandaj ol 0, X estas ĉeno).

Ĉenon de tri nombroj ni povas reprezenti per la notacio de Knuth: p→q→r = p ↑^r q.

Pli longaj ĉenoj ofte reprezentas multe pli grandajn nombrojn.

Nombro de Graham

Rekorda nombro

Mi nun parolos pri rekorda nombro. Sed antaŭe mi volas ekspliki la problemon en kiu tiu nombro aperas. Ĝi estas bela problemo: problemo sufiĉe facile eksplikebla, eĉ se la solvo estas malpli facile trovebla. Temas pri la problemo de Graham.

La problemo de Graham

Jen la problemo. Konsideru n-dimensian hiperkubon, kaj plenan grafeon sur ĝiaj verticoj. Provu kolorigi la eĝojn de tiu grafeo per du koloroj, tiel ke neniu ebena kvarangulo de la fonta hiperkubo estu tute unukolora. Ekde kiu valoro de n tio ne plu eblos?

Mi devos ekspliki kio estas hiperkubo, kio estas plena grafeo, kaj kio estas kolorigo de grafeo, sed ne timu: vi komprenos la problemon.

Hiperkuboj

Hiperkubo estas ĝeneraligaĵo de kubo al pluraj dimensioj. Vi ĉiuj scias kio estas kvadrato, kaj kio estas kubo. Mi tamen reeksplikos, kaj daŭrigos per hiperkuboj.

Ni komencu per 0-dimensia spaco. Ne estas distancoj en tiu spaco, estas nur unu punkto. La punkto bezonas nek nomon, nek koordinaton. Ni scias pri kiu punkto temas.

Ni aldonu unu dimension. La originala punkto ne plu estas sola, ĉar ĝi troviĝas sur linio plena je punktoj. Ni nomu nian punkton vertico (tio signifas finpunkto), kaj donos al ĝi la koordinaton (0). Ni nun ŝovu la punkton je unueca distanco laŭ la linio, kaj tie ni metu duan verticon kun koordinato (1). La vojo de la unua ĝis la dua vertico estas streko. Estas du verticoj en la streko.

Ni aldonu dimension. Nun ekzistas direkto perpendikulara al la unua streko. Ni nomu nian strekon latero (finstreko), kaj ŝovu ĝin laŭ la perpendikulara direkto, denove je unueca distanco. La streko priskribas kvadraton, la verticoj priskribas du novajn strekojn de unueca longo, do ankaŭ ili estas lateroj. Estas nun 4 verticoj, kiujn ni distingos per aldona koordinato, skribota post la nunaj koordinatoj: la originalaj verticoj iĝas (0, 0) kaj (1, 0), la novaj (0, 1) kaj (1, 1). La nombro da verticoj estas 4 (dufoje du), la nombro da lateroj ankaŭ 4 (la unua kaj ĝia kopio, kaj unu plia latero el ĉiu originala vertico).

Ni aldonu dimension. Nun ekzistas direkto perpendikulara al ĉiuj direktoj de la kvadrato, kiun ni nomos edro. Ni denove faros kopion, kaj aldonos plian koordinaton: 0 por la verticoj de la unua edro, 1 por la kopio. La nombro da verticoj denove duobliĝis: estas nun 8. Lateroj estas 2 ∙ 4 + 4 = 12. Edroj estas 2 plus 4 (unu el ĉiu latero), sume do 6. Ni nun havas kubon.

Kaj ni povas daŭrigi. Eĉ se en nia tridimensia vivo ni malfacile povas bildigi ĝin, ni imagu kvaran dimension. Kopiu la kubon, kiun ni nomos ĉelo, aldonu kvaran koordinaton, kaj nombru la verticojn (2 ∙ 8 = 16), la laterojn (2 ∙ 12 + 8 = 32), la edrojn (2 ∙ 6 + 12 = 24), kaj la ĉelojn (2 + 6 = 8). Jen 4-hiperkubo.

Kaj tiel plu. Limigantajn hiperkubojn oni ne nomas ĉelojn, sed edrojn: 4-edro, 5-edro, ktp. Cetere vi ja konas la sistemon.

Ebenaj kvaranguloj

Por kompreni la problemon de Graham, ni devas scii kio estas ebena kvarangulo.

Kompreneble, ĉiu edro estas kvadrato, kaj do ebena kvarangulo.

En tri dimensioj, estas pliaj ebenaj kvaranguloj: la diagonalaj rektanguloj difinitaj de po du paralelej lateroj kiuj ne apartenas al la sama edro.

En pluraj dimensioj estas pli facile rigardi la koordinatojn.

Kvar malsamaj punktoj troviĝas en la sama ebeno, se ni povas kalkuli ĉiujn koordinatojn de unu el ili el la korespondaj koordinatoj de la aliaj per la sama lineara formulo: p1 = a ∙ p2 + b ∙ p3 + c ∙ p4. Ĉi tie la punktoj estas verticoj de hiperkubo, do ĉiuj koordinatoj estas 0 aŭ 1. Pro tio, ankaŭ la nombroj a, b kaj c estos simplaj: sufiĉas konsideri la valorojn +1 kaj -1. Estas do sufiĉe facile por scii ĉu kvar punktoj estas samebenaj.

Grafeoj

Grafeoj estas ofte uzataj en komputiloj. Tamen, ne estas hazarde ke la vorto "grafeo" similas al "grafikaĵo". Simplaj grafeoj ofte estas desegnataj.

Grafeo estas aro de objektoj nomataj "verticoj", kaj ligoj inter tiuj verticoj, kiuj nomiĝas "eĝoj", "lateroj", aŭ "arkoj". Mi diros eĝoj, por distingi ilin de la lateroj de nia hiperkubo. En desegno, la verticoj estas punktoj, la eĝoj estas kunligantaj linioj, ofte arkformaj.

Grafeoj utilas i.a. en birilo por serĉi la plej rapidan aŭ la plej mallongan vojon inter verticoj kiuj reprezentas geografiajn lokojn. Sed oni ankaŭ uzas ilin por kompari taskojn kiuj devas esti ekzekutataj jen paralele, jen en difinita vicordo. La komputilo tiam kalkulas kiu tasko plej urĝas, aŭ ĉu eblas postponi difinitan taskon sen endanĝerigi la limdaton fiksitan por la tuta laboro.

En la problemo de Graham temas pri kompleta grafeo. Tio estas nedirektita grafeo kiu rekte interligas ĉiujn verticojn de la fonta hiperkubo. Ĝiaj edĝoj estas ne nur la lateroj de la hiperkubo, sed ankaŭ ĉiuj diagonaloj.

La grafeo ankaŭ estas kolorigita. Tio signifas ke al ĉiu eĝo oni atribuas koloron, t.e. propraĵo kiu povas havi nur limigitan nombron da valoroj (ĉi tie la nombro estas 2).

Denove pri la problemo de Graham

Konsideru n-dimensian hiperkubon, kaj plenan grafeon sur ĝiaj verticoj. Provu kolorigi la eĝojn de tiu grafeo per du koloroj, tiel ke neniu ebena kvarangulo de la fonta hiperkubo estu tute unukolora. Ekde kiu valoro de n tio ne plu eblos?

En du dimensioj, estas klare ke la kvadrato estas bone kolorigebla. Estas 6 eĝoj (4 lateroj kaj 2 diagonaloj). 5 el ili povas ricevi ajnan koloron, kaj nur se tiuj 5 unuaj estas samkoloraj, ni devas elekti alian koloron por la lasta.

En tri dimensioj, estas jam malpli facile. Se tiu kvadrato jam estas kvinfoje verda, kaj tiu ĉi estas kvinfoje nigra, kiun koloron mi donu al la lasta, komuna eĝo? Ni devos ŝanĝi unu el la jam atribuitaj koloroj, sed tio certe eblos. Ekzistas ekzemple tre simpla kaj simetria solvo por la kubo: kolorigu ĉiujn laterojn verdaj, kaj ĉiujn diagonalojn nigraj. Ebenaj kvaranguloj ĉiam entenas almenaŭ du laterojn kaj almenaŭ du diagonalojn.

Sed kun pliaj dimensioj la problemo pli kaj pli komplikiĝas: estas pli kaj pli da eĝoj, kaj ĉiu eĝo apartenas al pli kaj pli da ebenaj kvaranguloj.

Iam la problemo iĝos nesolvebla, ĉe nombro da dimensioj n. En 1971 Ronald Graham kaj Bruce Rothschild pruvis ke n almenaŭ estas 6. Ili ankaŭ donis maksimuman valoron, sed la pruvo estis erara. Poste Graham korektis la pruvon, sed nur pri pli granda maksimumo. Martin Gardner, kiu en "Scientific American" havis ĉiumonatan rubrikon pri matematikaj kuriozaĵoj, legis tiun pruvon, kaj en novembro 1977, li skribis en sia rubriko ke la maksimumo de Graham "tenas la rekordon por la plej granda nombro iam uzita en serioza matematika pruvo". La libro de mondaj rekordoj de Guinness de 1980 reprenis tiun rekordon laŭ la formulado de Gardner.

La supera limo por n restis ĝis nun la nombro de Graham, sed la suba limo nun estas 11 (pruvita en 2003).

Por kalkuli la nombron de Graham, ni eliru el la nombro g₀.

Ĉu la nombro de Graham estas granda?

Guinness neniam publikigis pli grandan nombron, kvankam ŝajnas ke intertempe pli grandaj nombroj aperis en seriozaj matematikaj pruvoj.

Sed eĉ se ne temas pri rekordo: ĉu ĝi vere estas granda?

Mia ekspliko pri ĝia valoro estis sufiĉe longa, ĉar temas pri preciza nombro, por kiu oni bezonas la sagonotacion de Knuth. Sed la nombro de Graham estas malpli granda ol la ĉeno de Conway 3→3→65→2, kaj tiu ĉeno estas multe malpli granda ol 3→3→3→3. Ĉu 3 3 3 3 estas granda nombro?

Kiel ajn, sufiĉas ke ni akceptu la ekziston de unu tre tre granda nombro, por ke validu la frivola teoremo de aritmetiko: Plej multaj naturaj nombroj estas tre tre grandaj. Ĉar kie ajn vi metas la limon, la nombro de la malpli grandaj nombroj estas limigita, dum ekzistas senfine pli multaj nombroj pli grandaj.

Transfiniaj nombroj

Mi nun parolos pri ankoraŭ pli grandaj nombroj: la transfinioj.

Infinito

Infiniton (∞) vi ja konas: ĝi aperas ĉe la analizo de reelaj funkcioj. Ĝi estas la limeso aŭ limvaloro de funkcio kiu iĝas ĉiam pli granda, kaj dumvoje atingas aŭ superas ĉiun reelan nombron. Estas nur unu infinito, kaj unu malgranda frato: minus infinito.

• ∞ + a = ∞ (por ĉiu reela a)
• ∞ ∙ a = ∞ (por ĉiu a > 0)
• ∞^a = ∞ (por ĉiu a > 0)
• a^∞ = ∞ (por ĉiu a > 1)
• ∞^∞ = ∞
• sed ankaŭ: ln(∞) = ∞

Oni ja distingas inter funkcioj kiuj pli aŭ malpli rapide atingas infiniton, sed la limvaloro mem estas por ĉiuj tiuj funkcioj la sama.

Transfiniaj ordonombroj

Elirante el la naturaj nombroj, estas aliaj transfiniaj nombroj.

Naturaj nombroj havas du funkciojn. La unua estas numeri: indiki la numeron de aĵo en listo. Ankaŭ senfinaj listoj povas ekzisti, se anstataŭ "listo" oni diras "bone ordigita aro". Bone ordigita aro estas aro kun ordiga funkcio tia, ke ĉiu subaro havas unuan elementon. Mi ne eksplikos, mi simple donos ekzemplon.

Konsideru la liston de ĉiuj paraj nombroj laŭ grando, sekvata de ĉiuj neparaj nombroj divideblaj per 3, sekvata de la restantaj nombroj divideblaj per 5, per 7, per 11, k.t.p., ĉiam laŭ grando, kaj fine ni aldonu ankoraŭ la nombron 1. La unua nombro en tiu sinsekvo estas 2, la dua estas 4, k.t.p. Sed ankaŭ 3 havas sian difinitan lokon: ĝi estas ω + 1 (ω reprezentas la unuan senfinan liston, kaj ω + 1 estas la unua nombro kiu sekvas ĝin), kaj 5 estas en loko ω ∙ 2 + 1, 25 en loko ω ∙ 2 + 2, 7 en loko ω ∙ 3 + 1, kaj 1 estas en loko ω² + 1, ĉar ĝi venas post la unua senfina listo de senfinaj listoj.

Transfiniaj kvantonombroj

Pli interesa laŭ mi, estas la dua funkcio de naturaj nombroj: indiki la grandon de aro. Anstataŭ "grando" oni normale uzas la vortojn kvanto, povo aŭ kardinalo. La kvanto de aro estas ĝia nombro da elementoj. Se temas pri senfinaj aroj ni devos difini tion pli precize.

Du aroj estas samkvantaj, se eblas difini rilaton tia, ke ĉiu elemento el la unua aro estas ligita al ekzakte unu elemento de la dua, kaj inverse. (ekzemplo sur tabulo: aro de 5 punktoj, kaj alia aro de 5 punktoj)

Aro a estas malpli forta (havas malpli grandan kvanton) ol aro b se a estas samkvanta kiel subaro de b, sed b ne estas samkvanta kiel (subaro de) a. La du kondiĉoj necesas, ĉar senfina aro ĉiam estas samkvanta kiel vera subaro de ĝi mem. Ekzemple la aro de ĉiuj paraj naturaj nombroj estas samkvanta kiel la aro de ĉiuj naturaj nombroj: simple ligu ĉiun naturan nombron n al la para nombro 2 ∙ n.

Eĉ la aro de ĉiuj ordigitaj paroj de naturaj nombroj estas same forta kiel la aro de naturaj nombroj.

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)...
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)...
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)...
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)...
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)...
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)...
...

Jen senfina listo de senfinaj listoj de paroj. Tamen ni povas atribui unu naturan nombron al ĉiu paro, tiel ke ĉiu nombro indikas nur unu paron. Ni komencu supre maldekstre, per la paro kies sumo estas 2: (1, 1). Poste, la paroj kies sumo estas 3: (2, 1) (1, 2), poste 4: (3,1) (2, 2) (1, 3), poste 5: (4, 1) (3, 2) (2, 3) (1, 4), kaj tiel, ĉiu paro iam estos prenita.

La kardinalo de la aro de naturaj nombroj estas nomata א₀ (alef nul). Ĝi estas la plej malgranda transfinia kardinalo.

La aro de reelaj nombroj estas pli forta. Ĝia kardinalo estas nomata c (kardinalo de kontinuaĵo, ĉar samkvantaj estas la aroj de punktoj sur linio, punktoj en ebeno, en tridimensia spaco,...) Por pruvi ke kontinuaĵo estas pli forta ol la aro de naturaj nombroj, mi pruvos ke la intervalo [0, 1[ de reeloj ekde nul sed malpli grandaj ol unu, estas pli forta.

Nombrojn el tiu intervalo oni povas skribi kiel 0 komo, sekvata de senfina listo de ciferoj de 0 ĝis 9. Por certigi ke ĉiu nombro havu nur unu skribmanieron, ni nur devas malpermesi senfinan sinsekvon de ciferoj 9.

Imagu ke ekzistas kompleta vicordo de tiuj reeloj: ĉiu reelo estas ligita al unu natura nombro (ĝia loko en la senfina listo), kaj neniu natura nombro estas uzata dufoje (neniu loko en la listo estas okupata de du reeloj).

0,1234567890...
0,5478503694...
0,2356841522...
0,5147892563...
...

Mi tuj povas doni nombron kiu certe ne troviĝas en tiu listo: 0,2569.... (mi ŝanĝis la unuan ciferon de la unua nombro, la duan de la dua, la trian de la tria... kun la rezulto ke neniu nombro el la senfina listo komplete egalas al mia nombro).

Oni nomas tiun pruvon "la diagonalan pruvon de Cantor", kaj per simila pruvo Georg Cantor ankaŭ pruvis ke ĉiu aro estas malpli forta ol la aro de ĝiaj subaroj. Supozu ke ekzistas funkcio kiu ligas ĉiun elementon de la origina aro al unu subaro. Prenu la aron de ĉiuj elementoj kiuj per la funkcio estas ligitaj al subaro kiu ne entenas la elementon mem. Tiu aro, kiu estas subaro de la originala aro, estas ligita al neniu elemento el tiu sama subaro. Ĝi ankaŭ ne estas ligita al alia elemento de la originala aro, ĉar tiam tiu elemento devus troviĝi en la subaro. Jen do subaro al kiu neniu elemento montras.

La kardinalo de la aro de subaroj de aro kun kardinalo N, estas 2^N. Por finia nombro N, tio estas facile pruvebla: ĉiu subaro estas difinita per la samtempa ĉeesto (aŭ ne) de ĉiu el la elementoj de la origina aro. La nombro de eblaj subaroj estas do 2^N. Por senfina N, oni akceptas tion kiel difino de 2^N. Estas facile pruvebla ke 2^א₀ = c. Simple skribu la reelojn inter 0 kaj 1 en duuma notacio. La sinsekvaj nuloj kaj unuoj difinos ligitan subaron de la aro de naturaj nombroj.

Sekvas el tio ke ne ekzistas "la" plej forta aro: la aro de ĝiaj subaroj estas pli forta. Kaj sekve, neniu kardinalo estas la plej granda. Por ĉiu kardinalo N, ekzistas 2^N > N.

Eblaj formoj

Sed mi ne volas konkludi per nombro kiu ne povas ekzisti. Mi konkludos per 2^c. Kiel vi jam scias, 2^c estas la kardinalo de la aro de ĉiuj subaroj de kontinuaĵo. Pli malprecize dirite: ĝi estas la nombro de ĉiuj eblaj formoj. Ĝi estas pli granda ol c.

Rigardu la tabulon: ĝi estas kontinuaĵo da punktoj. Iuj el ĝiaj punktoj (fakte jam kontinuaĵo) estas kovritaj per literoj. Mi kovros ankoraŭ aliajn: tiel, kaj tiel, kaj tiel. Kaj mi malkovros ĉi tiujn punktojn. La aro de ĉiuj eblaj tiaj formoj havas la kardinalon 2^c.

Anstataŭ pri dudimensia desegno, mi povus paroli pri tridimensia formo, eĉ moviĝanta formo tra la tempo. Aŭ pensu pri muzikaĵo. Kodigitaj partituroj kaj tekstoj de kantoj estas nombreblaj: ilia kvanto estas א₀. Sed konkretaj muzikaĵoj, la sonoj faritaj de muzikistoj kaj kantistoj, estas formoj en kontinuaĵo de premo kaj tempo. Ilia kvanto estas 2^c.

Supozu ke nia tuta mondo estas tridimensia spaco kiu evoluas tra unudimensia tempo. La mondo ne estas ĉio kio ekzistas, sed ĝi estas la ujo kiu ĉion entenas. Ĉio kio ekzistas por ni, ĉio kio nin influas, ĉio kion ni povas koni, ekzistas en la kvardimensia spaco-tempo.

Kaj imagu ke tiu mondo estas kontinuaĵo: forgesu atomojn, forgesu la longon de Planck. Kaj la spaco kaj la tempo estas senfine divideblaj. Kaj imagu la spacotempon senfina: ĝi ĉiam ekzistis, ĉiam ekzistos, kaj ne ekzistas plej longa distanco en ĝi.

Se tia estas la mondo, tiu desegno, ĉi tiu danco, kaj la nuna vetero en Belgio, preskaŭ certe neniam antaŭe montriĝis, kaj ...(mi forviŝis la desegnon)... en la tuta universo, ili neniam revenos. Ĉar por ripeti ĉiujn formojn (2^c), mankas (>) la necesaj spaco kaj tempo (c).

• Hejmen

Dato en kiu tiu ĉi paĝo estis lastfoje aktualigita: 2022-11-21